Новости сайта | О проекте | Контакты
 
Новости сайта
О проекте
Библиотека
Календарь Майя
Контактеры 2012
Каббала
Ученые
Ученые стран мира 2012
Тибетские
Камасутра
Тибетская медицина
Контакты
Отзывы и Предложения
Полезное
Обратная связь
Фотогалерея
Поисковая система
Фотографии
Видео

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи).

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи Описание: left{F_nright}задается рекуррентным соотношением:

Описание: F_1 = 1,quad F_2 = 1,quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1} quad ninmathbb{N}. 

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2Fn + 1:

n

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fn 

-55

34

-21

13

-8

5

-3

2

-1

1

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

Легко видеть, что F n = ( − 1)n + 1Fn. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:

Описание: F_n = frac{left(frac{1 + sqrt{5}}{2}right)^n - left(frac{1 - sqrt{5}}{2}right)^n}{sqrt{5}} = frac{phi^n - (-phi )^{-n}}{phi - (-phi )^{-1}},

где Описание: phi=frac{1 + sqrt{5}}{2}— золотое сечение. При этом Описание: phi,!и Описание: (-phi )^{-1}=1-phi,!являются корнями квадратного уравнения Описание: x^2-x-1=0,!.

Из формулы Бине следует, что для всех Описание: ngeqslant 0, Fn есть ближайшее к Описание: frac{phi^n}{sqrt{5}},целое число, то есть Описание: F_n = leftlfloorfrac{phi^n}{sqrt{5}}rightrceil. В частности, справедлива асимптотикаОписание: F_nsim frac{phi^n}{sqrt{5}}.

Тождества

  • Описание: F_1+F_2+F_3+dots+F_n=F_{n+2}-1
  • Описание: F_1+F_3+F_5+dots+F_{2n-1}=F_{2n}
  • Описание: F_2+F_4+F_6+dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1
  • Описание: F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}
  • Описание: F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n+1}
  • Описание: F_1^2+F_2^2+F_3^2+dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}
  • Описание: F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}
  • Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: Описание: F_n = K_n(1,dots,1), то есть

Описание: F_n = det begin{pmatrix}  1 & 1    & 0 &cdots & 0 \  -1  & 1  & 1 &  ddots    & vdots\ 0   & -1   & ddots &ddots & 0 \ vdots & ddots  & ddots   &ddots & 1 \  0 & cdots & 0 & -1 & 1 end{pmatrix}, а также Описание:  F_{n+1} = det begin{pmatrix}  1 & i    & 0 &cdots & 0 \  i  & 1  & i &  ddots    & vdots\ 0   & i   & ddots &ddots & 0 \ vdots & ddots  & ddots   &ddots & i \  0 & cdots & 0 & i & 1end{pmatrix},

где матрицы имеют размер Описание: ntimes n, i — мнимая единица.

  • Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышёва:

Описание: F_{n+1} = (-i)^n U_nleft(frac{-i}{2}right) = (-i)^n T_n(-i)

Описание: F_{2n+2} = U_nleft(frac{3}{2}right) = T_n(3)

  • Для любого n,

Описание: begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}^n =        begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \                        F_n   & F_{n-1} end{pmatrix}.

·         Следствие. Подсчёт определителей даёт

Описание: (-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2

Свойства

  • Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
    • Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
    • Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпримерОписание: F_{19}=4181=37cdot 113. Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
  • Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x2 - x - 1имеет корни Описание: ~phiи Описание: -frac{1}{phi}.
  • Отношения Описание: frac{F_{n+1}}{F_n}являются подходящими дробями золотого сечения φ и, в частности, Описание: lim_{ntoinfty}frac{F_{n+1}}{F_n}=phi.
  • Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы

Описание: F_{n+1} = sum_{k=0}^{lfloor n/2rfloor} {n-kchoose k}.

  • В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
  • Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

Описание: 0 + x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + dots = sum_{n=0}^{infty} F_n x^n = frac{x}{1-x-x^2}

  • Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
    z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2y5x4y + 2y,
    на множестве неотрицательных целых чисел x и y.
  • Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
  • Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т.д.

Вариации и обобщения

  • Числа трибоначчи
  • Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка Описание: ~F_n = U_n(1,-1), при этом их дополнением являются числа Люка Описание: ~L_n = V_n(1,-1).

 


Число прочтений: 9909
Посетитель Комментарий

вася

18.10.12 16:Oct:th
Этог что за бред?

Наталья

17.02.15 13:Feb:th
В 1989 году я закончила НИСКТ (Новосибирский Институт Советской Кооперативной Торговли). На практических занятиях преподаватель по финансам дал нам одну универсальную формулу. В дальнейшем я по ней сделала расчёт, перспектива развития своего предприятия, где работала на тот момент, включила в курсовую работу. Получилось, что в 1992 году прибыль предприятия упадёт ниже ноля. Преподаватель курса Рынков возмутилась, спросила какую формулу я использовала. Курсовую попросила переписать. А эту курсовую - отдать ей. Как послушный гражданин я так и сделала. По предприятию в 1992 году, как сами понимаете, мой прогноз сбылся. Тетрадь, где была формула пропала, а курсовая была в других руках. С тех пор я ищу, какая эта была формула. Так как преподаватель по Финансам дал формулу на примере, в лекциях я её не нашла. Предполагаю, что это формула Фибоначчи. Тождества напоминают мои расчёты в курсовой. Вот так получив образование, имея на руках лекции, я не воспользовалась тем, что могло бы повлиять на всю мою жизнь в лучшую сторону. Кстати, по этой формуле ранее я делала расчёты по своей дате рождения, критические периоды. Совпадения в семье есть. Та ли эта формула, которую я искала?

Фибоначчер

01.10.16 03:Oct:st
Привет, ихтеандры!

Добавить комментарий
Имя:
Почта: не публикуется
  © www.bik-rif.ru 2010-2017